第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
（一）函数的概念
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1.函数的定义
函数是数学中一个重要的概念，它表示一种特定的关系，其中每一个输入值（自变量）都对应一个唯一的输出值（因变量）。函数通常用符号 ( f(x) ) 表示，其中 ( f ) 是函数的名称，( x ) 是自变量。
函数的基本特性包括：
- 定义域：函数可以接受的所有输入值的集合。
- 值域：函数可能输出的所有值的集合。
- 映射关系：每个定义域中的元素都有唯一的值域中的元素与之对应。
函数可以用不同的方式表示，例如：
- 代数表达式：如 ( f(x) = x^2 + 2x + 1 )
- 图像：在坐标平面上绘制函数曲线
- 表格：列出自变量与因变量的对应关系
函数的类型有很多，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。每种函数都有其特定的性质和应用。
2.函数的两个要素
函数的两个基本要素是：
定义域：定义域是函数中自变量（输入值）可以取的所有可能值的集合。它规定了函数可以接受哪些输入。
值域：值域是函数中因变量（输出值）可能取的所有值的集合。它表示函数在给定定义域下，能够输出的所有结果。
这两个要素共同决定了函数的性质和行为。定义域和值域的选择对函数的图像和应用也有重要影响。
3.函数的表示方法
函数的表示方法主要有以下几种：
解析式（代数表达式）：这是最常见的表示方法，使用数学公式来定义函数。例如，函数 ( f(x) = 2x + 3 ) 表示一个输入 ( x ) 经过变换后得到的输出。
图像：通过绘制函数的图形，可以直观地展示函数的性质。例如，绘制 ( y = f(x) ) 的曲线，可以观察到函数的增长、减小、极值等特征。
表格：可以通过列出输入与输出的对应关系来表示函数。例如：
图形化（例如：箭图）：用箭头表示输入和输出之间的关系，常用于小规模的函数表示。例如，输入 ( x ) 通过箭头指向输出 ( f(x) )。
递归定义：某些函数可以通过递归的方式定义，例如斐波那契数列：( F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) )（当 ( n \geq 2 )）。
集合表示：可以用有序对的集合来表示函数。例如，函数 ( f ) 可以表示为 ( f = {(1, 5), (2, 7), (3, 9)} )。
这些表示方法各有优缺点，可以根据具体情况选择适合的方式来描述和分析函数。
4.分段函数
分段函数是指在不同的区间内具有不同表达式的函数。它的定义通常是将整个定义域划分为几个区间，每个区间对应一个特定的函数表达式。分段函数常用于描述那些在不同条件下表现不同的数学关系。
例如，一个简单的分段函数可以定义为：
在这个例子中，函数 ( f(x) ) 在不同的区间内采用了不同的公式来计算其值。分段函数在数学分析、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
（二）函数的性质
函数的性质可以从多个角度进行分析，下面是关于有界性、单调性、奇偶性和周期性的简要说明：
有界性：
- 如果函数在其定义域内的所有值都小于某个常数，则称该函数为有上界的；如果所有值都大于某个常数，则称为有下界的；如果既有上界又有下界，则称为有界函数。
- 例如，函数 ( f(x) = \sin(x) ) 在所有实数上有界，因为其值始终在 ([-1, 1]) 之间。
单调性：
- 函数的单调性是指函数在某个区间内是递增还是递减。如果对于区间内的任意两个点 ( x_1 < x_2 )，都有 ( f(x_1) \leq f(x_2) )，则称函数在该区间上是单调递增的；反之，如果 ( f(x_1) \geq f(x_2) )，则称为单调递减的。
奇偶性：
- 如果对于函数 ( f(x) ) 有 ( f(-x) = f(x) ) 对于所有 ( x ) 成立，则称该函数为偶函数；如果 ( f(-x) = -f(x) )，则称为奇函数。
- 例如，函数 ( f(x) = x^3 ) 是奇函数，而 ( f(x) = x^2 ) 是偶函数。
周期性：
- 如果存在一个正数 ( T )，使得对于所有 ( x ) 都有 ( f(x + T) = f(x) )，则称函数为周期函数，( T ) 被称为周期。
- 例如，函数 ( f(x) = \sin(x) ) 的周期为 ( 2\pi )，因为 ( \sin(x + 2\pi) = \sin(x) ) 对于所有 ( x ) 成立。
这些性质在分析和研究函数时非常重要，可以帮助我们理解函数的行为和特征。 ……
（三）反函数
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反函数是指一个函数的逆操作。如果一个函数 ( f(x) ) 将输入 ( x ) 映射到输出 ( y )，即 ( y = f(x) )，那么反函数 ( f^{-1}(y) ) 将输出 ( y ) 映射回输入 ( x )，即 ( x = f^{-1}(y) )。
要找到反函数，通常需要满足以下条件：
- 一一对应性：函数必须是单射（即不同的输入有不同的输出），这样才能确保每个输出都有唯一的输入对应。
- 可逆性：函数的定义域和值域需要适当选择，以便可以找到反函数。
找到反函数的一般步骤：
- 将函数方程 ( y = f(x) ) 中的 ( y ) 和 ( x ) 互换。
- 解出新的方程 ( x = f^{-1}(y) )。
- 将解写成 ( f^{-1}(x) ) 的形式。
例如，对于函数 ( f(x) = 2x + 3 )，我们可以找到它的反函数：
- 将方程写为 ( y = 2x + 3 )。
- 交换 ( x ) 和 ( y )：( x = 2y + 3 )。
- 解出 ( y )：( y = \frac{x - 3}{2} )。
- 所以反函数为 ( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} )。
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